Nội dung
Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét định nghĩa hạng của ma trận, cũng như các phương pháp mà nó có thể được tìm thấy. Chúng tôi cũng sẽ phân tích các ví dụ để chứng minh việc áp dụng lý thuyết vào thực tế.
Xác định hạng của ma trận
Xếp hạng ma trận là thứ hạng của hệ thống các hàng hoặc cột của nó. Bất kỳ ma trận nào cũng có thứ hạng hàng và cột bằng nhau.
Xếp hạng hệ thống hàng là số hàng độc lập tuyến tính tối đa. Thứ hạng của hệ thống cột được xác định theo cách tương tự.
Ghi chú:
- Thứ hạng của ma trận XNUMX (được biểu thị bằng ký hiệu “θ“) Của bất kỳ kích thước nào đều bằng không.
- Thứ hạng của bất kỳ vectơ hàng hoặc vectơ cột khác không đều bằng một.
- Nếu một ma trận có kích thước bất kỳ chứa ít nhất một phần tử không bằng XNUMX, thì hạng của nó không nhỏ hơn một.
- Hạng của ma trận không lớn hơn kích thước tối thiểu của nó.
- Các phép biến đổi cơ bản được thực hiện trên một ma trận không làm thay đổi thứ hạng của nó.
Tìm hạng của ma trận
Phương pháp Tua nhỏ
Bậc của ma trận bằng bậc lớn nhất của một số khác không.
Thuật toán như sau: tìm trẻ vị thành niên từ đơn đặt hàng thấp nhất đến cao nhất. Nếu trẻ vị thành niên nthứ tự thứ không bằng XNUMX và tất cả các thứ tiếp theo (n+1) đều bằng 0, do đó hạng của ma trận là n.
Ví dụ
Để làm rõ hơn, chúng ta hãy lấy một ví dụ thực tế và tìm thứ hạng của ma trận A dưới đây, dùng phương pháp tiểu nhân giáp.
Dung dịch
Chúng ta đang xử lý ma trận 4 × 4, do đó, hạng của nó không được cao hơn 4. Ngoài ra, có các phần tử khác XNUMX trong ma trận, có nghĩa là hạng của nó không nhỏ hơn một. Vậy hãy bắt đầu:
1. Bắt đầu kiểm tra trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ hai. Để bắt đầu, chúng tôi lấy hai hàng của cột đầu tiên và cột thứ hai.
Số nhỏ bằng không.
Do đó, chúng tôi chuyển sang cột nhỏ tiếp theo (cột đầu tiên vẫn còn, và thay vì cột thứ hai, chúng tôi lấy cột thứ ba).
Số hạng tử là 54 ≠ 0, do đó hạng của ma trận nhỏ nhất là hai.
Lưu ý: Nếu số nhỏ này hóa ra bằng XNUMX, chúng tôi sẽ kiểm tra thêm các kết hợp sau:
Nếu được yêu cầu, việc liệt kê có thể được tiếp tục theo cách tương tự với các chuỗi:
- 1 và 3;
- 1 và 4;
- 2 và 3;
- 2 và 4;
- 3 và 4.
Nếu tất cả các con hạng hai đều bằng XNUMX, thì hạng của ma trận sẽ bằng một.
2. Chúng tôi đã xoay sở gần như ngay lập tức để tìm được một trẻ vị thành niên phù hợp với mình. Vì vậy, chúng ta hãy chuyển sang trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ ba.
Đối với phần nhỏ được tìm thấy của đơn hàng thứ hai, cho kết quả khác XNUMX, chúng tôi thêm một hàng và một trong các cột được đánh dấu bằng màu xanh lá cây (chúng tôi bắt đầu từ hàng thứ hai).
Vị thành niên hóa ra là con số không.
Do đó, chúng tôi thay đổi cột thứ hai thành cột thứ tư. Và trong lần thử thứ hai, chúng tôi cố gắng tìm một số nhỏ không bằng 3, có nghĩa là hạng của ma trận không được nhỏ hơn XNUMX.
Lưu ý: nếu kết quả lại là XNUMX, thay vì hàng thứ hai, chúng tôi sẽ đưa thêm hàng thứ tư và tiếp tục tìm kiếm trẻ vị thành niên “tốt”.
3. Bây giờ nó vẫn còn để xác định trẻ vị thành niên của đơn hàng thứ tư dựa trên những gì đã được tìm thấy trước đó. Trong trường hợp này, nó là một đối sánh với định thức của ma trận.
Số nhỏ bằng 144 ≠ 0. Điều này có nghĩa là thứ hạng của ma trận A bằng 4.
Giảm ma trận thành dạng bậc
Thứ hạng của ma trận bước bằng số hàng khác không của nó. Đó là, tất cả những gì chúng ta cần làm là đưa ma trận về dạng thích hợp, ví dụ, sử dụng, như chúng tôi đã đề cập ở trên, không thay đổi thứ hạng của nó.
Ví dụ
Tìm hạng của ma trận B phía dưới. Chúng tôi không lấy một ví dụ quá phức tạp, vì mục tiêu chính của chúng tôi chỉ đơn giản là chứng minh việc áp dụng phương pháp trong thực tế.
Dung dịch
1. Đầu tiên, trừ dòng thứ nhất đã nhân đôi lên dòng thứ hai.
2. Bây giờ trừ hàng đầu tiên với hàng thứ ba, nhân với bốn.
Do đó, chúng ta có một ma trận bước trong đó số hàng khác 2 bằng hai, do đó thứ hạng của nó cũng bằng XNUMX.