Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét phương pháp Gaussian là gì, tại sao nó lại cần thiết và nguyên tắc của nó là gì. Chúng tôi cũng sẽ chứng minh bằng cách sử dụng một ví dụ thực tế về phương pháp có thể được áp dụng để giải hệ phương trình tuyến tính.
Mô tả phương pháp Gauss
Phương pháp Gauss là phương pháp cổ điển loại bỏ tuần tự các biến được sử dụng để giải. Nó được đặt theo tên của nhà toán học người Đức Carl Friedrich Gauss (1777-1885).
Nhưng trước tiên, chúng ta hãy nhớ lại rằng SLAU có thể:
- có một giải pháp duy nhất;
- có vô số nghiệm;
- không tương thích, tức là không có giải pháp.
Lợi ích thiết thực
Phương pháp Gauss là một cách tuyệt vời để giải một SLAE bao gồm nhiều hơn ba phương trình tuyến tính, cũng như các hệ không vuông.
Nguyên tắc của phương pháp Gauss
Phương pháp này bao gồm các bước sau:
- ngay - ma trận tăng thêm tương ứng với hệ phương trình, được rút gọn theo cách trên các hàng về dạng tam giác phía trên (bậc), tức là dưới đường chéo chính chỉ nên có các phần tử bằng không.
- trở lại - trong ma trận kết quả, các phần tử phía trên đường chéo chính cũng được đặt bằng XNUMX (hình tam giác dưới).
Ví dụ về giải pháp SLAE
Hãy giải hệ phương trình tuyến tính dưới đây bằng phương pháp Gauss.
Dung dịch
1. Để bắt đầu, chúng tôi trình bày SLAE dưới dạng ma trận mở rộng.
2. Bây giờ nhiệm vụ của chúng ta là thiết lập lại tất cả các phần tử dưới đường chéo chính. Các hành động khác phụ thuộc vào ma trận cụ thể, dưới đây chúng tôi sẽ mô tả những hành động áp dụng cho trường hợp của chúng tôi. Đầu tiên, chúng tôi hoán đổi các hàng, do đó đặt các phần tử đầu tiên của chúng theo thứ tự tăng dần.
3. Trừ từ hàng thứ hai hai lần hàng đầu tiên và từ hàng thứ ba - nhân ba lần hàng đầu tiên.
4. Thêm dòng thứ hai vào dòng thứ ba.
5. Trừ dòng thứ hai với dòng thứ nhất, đồng thời chia dòng thứ ba cho -10.
6. Giai đoạn đầu tiên đã hoàn thành. Bây giờ chúng ta cần lấy các phần tử null phía trên đường chéo chính. Để thực hiện việc này, hãy trừ hàng thứ ba nhân với 7 ở hàng đầu tiên và cộng hàng thứ ba nhân với 5 vào hàng thứ hai.
7. Ma trận mở rộng cuối cùng trông như thế này:
8. Nó tương ứng với hệ phương trình:
Câu trả lời: SLAU gốc: x = 2, y = 3, z = 1.