Nâng một số phức lên lũy thừa tự nhiên

Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét cách một số phức có thể được nâng lên thành lũy thừa (bao gồm cả việc sử dụng công thức De Moivre). Tài liệu lý thuyết có kèm theo ví dụ để các bạn hiểu rõ hơn.

Nâng một số phức thành lũy thừa

Đầu tiên, hãy nhớ rằng một số phức có dạng tổng quát: z = a + bi (dạng đại số).

Bây giờ chúng ta có thể tiến hành trực tiếp giải pháp của vấn đề.

Số bình phương

Chúng ta có thể thể hiện mức độ như một sản phẩm của các yếu tố giống nhau và sau đó tìm sản phẩm của họ (đồng thời ghi nhớ rằng i² = -1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

Ví dụ 1:

z = 3 + 5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i) (3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Bạn cũng có thể sử dụng, cụ thể là bình phương của tổng:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi - b²

Lưu ý: Theo cách tương tự, nếu cần, có thể thu được các công thức bình phương của hiệu, lập phương của tổng / hiệu, v.v.

Độ thứ n

Nâng một số phức z bằng hiện vật n dễ dàng hơn nhiều nếu nó được biểu diễn dưới dạng lượng giác.

Nhớ lại rằng, nói chung, ký hiệu của một số trông giống như sau: z = | z | ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Để tính lũy thừa, bạn có thể sử dụng Công thức của De Moivre (được đặt theo tên nhà toán học người Anh Abraham de Moivre):

zⁿ = | z|ⁿ ⋅ (cos (nφ) + i ⋅ sin (nφ))

Công thức có được bằng cách viết dưới dạng lượng giác (các mô-đun được nhân và các đối số được cộng).

Ví dụ 2

Nâng một số phức z = 2 ⋅ (cos 35 ° + i ⋅ sin 35 °) đến độ thứ tám.

Dung dịch

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos (8 ⋅ 35 °) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35 °)) = 256 ⋅ (cos 280 ° + i sin 280 °).