Trích xuất căn của một số phức

Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét cách bạn có thể lấy căn của một số phức và cũng như cách điều này có thể giúp giải các phương trình bậc hai có số phân biệt nhỏ hơn XNUMX.

Trích xuất căn của một số phức

Căn bậc hai

Như chúng ta đã biết, không thể lấy gốc của một số thực âm. Nhưng khi nói đến số phức, hành động này có thể được thực hiện. Hãy tìm ra nó.

Giả sử chúng ta có một số z = -9. Đối với √-9 có hai gốc:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Hãy để chúng tôi kiểm tra kết quả thu được bằng cách giải phương trình z² = -9, đừng quên điều đó i² = -1:

(-3i)² = (-3)² Tôi² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² Tôi² = 9 ⋅ (-1) = -9

Vì vậy, chúng tôi đã chứng minh rằng -3i и 3i là rễ √-9.

Gốc của một số âm thường được viết như thế này:

√-1 = ± tôi

√-4 = ± 2i

√-9 = ± 3i

√-16 = ± 4i và vv

Gốc đến sức mạnh của n

Giả sử chúng ta đã cho phương trình có dạng z = ⁿ√w… Nó có n rễ (z₀, Trong₁, Trong₂,…, Z_n-1), có thể được tính bằng công thức dưới đây:

| w | là mô-đun của một số phức w;

φ - lập luận của anh ấy

k là một tham số nhận các giá trị: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Phương trình bậc hai với căn phức

Trích xuất gốc của một số âm thay đổi ý tưởng thông thường của uXNUMXbuXNUMXb. Nếu người phân biệt (D) nhỏ hơn XNUMX, thì không thể có các căn thực, nhưng chúng có thể được biểu diễn dưới dạng số phức.

Ví dụ

Hãy giải phương trình x² - 8x + 20 = 0.

Dung dịch

a = 1, b = -8, c = 20

d = b² - 4ac = 64 - 80 = -16

D < 0, nhưng chúng ta vẫn có thể xử lý gốc rễ của từ phân biệt tiêu cực:

√D = √-16 = ± 4i

Bây giờ chúng ta có thể tính toán các gốc:

x_1,2 = (-b ± √D) / 2a = (8 ± 4i) / 2 = 4 ± 2i.

Do đó, phương trình x² - 8x + 20 = 0 có hai gốc liên hợp phức tạp:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 - 2i