Nội dung
Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét một trong những định lý cổ điển của hình học affine - định lý Ceva, được đặt tên như vậy để vinh danh kỹ sư người Ý Giovanni Ceva. Chúng tôi cũng sẽ phân tích một ví dụ về việc giải quyết vấn đề để củng cố tài liệu đã trình bày.
Phát biểu định lý
Tam giác đã cho ABC, trong đó mỗi đỉnh được nối với một điểm ở phía đối diện.
Do đó, chúng tôi nhận được ba phân đoạn (AA ', BB ' и CC '), được gọi là người cevian.
Các phân đoạn này cắt nhau tại một điểm nếu và chỉ khi sự bình đẳng sau đây được giữ nguyên:
|VÀ'| |KHÔNG PHẢI'| |CB '| = |BC '| |SỰ THAY ĐỔI'| |AB '|
Định lý cũng có thể được trình bày dưới dạng này (nó được xác định theo tỷ lệ nào mà các điểm chia các cạnh):
Định lý lượng giác Ceva
Lưu ý: tất cả các góc đều được định hướng.
Ví dụ về một vấn đề
Tam giác đã cho ABC có dấu chấm ĐẾN', B ' и NS ' bên cạnh đó BC, AC и AB, tương ứng. Các đỉnh của tam giác được nối với các điểm đã cho, và các đoạn được tạo thành đi qua một điểm. Đồng thời, các điểm ĐẾN' и B ' lấy tại trung điểm của các cạnh đối diện tương ứng. Tìm hiểu tỷ lệ điểm NS ' chia bên AB.
Dung dịch
Hãy vẽ hình vẽ theo điều kiện của bài toán. Để thuận tiện cho chúng tôi, chúng tôi áp dụng ký hiệu sau:
- AB '= B'C = a
- BA '= A'C = b
Nó chỉ còn lại để soạn tỷ lệ của các phân đoạn theo định lý Ceva và thay thế ký hiệu được chấp nhận vào nó:
Sau khi giảm các phân số, chúng ta nhận được:
Vì thế, AC '= C'B, tức là điểm NS ' chia bên AB Trong một nửa.
Do đó, trong tam giác của chúng ta, các đoạn AA ', BB ' и CC ' là các trung gian. Sau khi giải quyết vấn đề, chúng tôi đã chứng minh rằng chúng cắt nhau tại một điểm (giá trị cho bất kỳ tam giác).
Lưu ý: Sử dụng định lý Ceva, người ta có thể chứng minh rằng trong một tam giác tại một điểm, các đường phân giác hoặc đường cao cũng cắt nhau.