Giới hạn của một hàm là gì

Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét một trong những khái niệm chính của phân tích toán học - giới hạn của một hàm số: định nghĩa của nó, cũng như các giải pháp khác nhau với các ví dụ thực tế.

Xác định giới hạn của một hàm

Giới hạn chức năng - giá trị mà giá trị của hàm này có xu hướng khi đối số của nó có xu hướng đến điểm giới hạn.

Bản ghi giới hạn:

• giới hạn được biểu thị bằng biểu tượng lim;
• bên dưới nó được thêm vào giá trị nào mà đối số (biến) của hàm có xu hướng. Thường thì cái này x, nhưng không nhất thiết, ví dụ:x→ 1 ″;
• thì bản thân hàm được thêm vào bên phải, ví dụ:

  

Do đó, bản ghi cuối cùng của giới hạn trông như thế này (trong trường hợp của chúng tôi):

Đọc thích "Giới hạn của hàm vì x có xu hướng thống nhất".

x→ 1 - điều này có nghĩa là “x” liên tục nhận các giá trị tiến tới sự thống nhất vô hạn, nhưng sẽ không bao giờ trùng khớp với nó (sẽ không đạt được).

Giới hạn quyết định

Với một số nhất định

Hãy giải quyết giới hạn trên. Để làm điều này, chỉ cần thay thế đơn vị trong hàm (bởi vì x→ 1):

Vì vậy, để giải quyết giới hạn, trước tiên chúng ta cố gắng thay thế một số đã cho vào hàm bên dưới nó (nếu x có xu hướng là một số cụ thể).

Với vô cùng

Trong trường hợp này, đối số của hàm tăng lên vô hạn, nghĩa là "X" có xu hướng đến vô cùng (∞). Ví dụ:

If x→ ∞, thì hàm đã cho có xu hướng trừ đi vô cùng (-∞), bởi vì:

• 3 - 1 = 2
• 3 - 10 = -7
• 3 - 100 = -97
• 3 - 1000 - 997, v.v.

Một ví dụ khác phức tạp hơn

Ngoài ra, để giải quyết giới hạn này, chỉ cần tăng các giá trị x và xem xét "hành vi" của hàm trong trường hợp này.

• RSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 - 6 = -2
• RSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• RSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

Vì vậy cho "X"có xu hướng đến vô cùng, hàm x² + 3x - 6 phát triển vô thời hạn.

Với sự không chắc chắn (x có xu hướng vô cùng)

Trong trường hợp này, chúng ta đang nói về giới hạn, khi hàm là một phân số, tử số và mẫu số của chúng là đa thức. Trong đó "X" có xu hướng đến vô cùng.

Ví dụ: chúng ta hãy tính toán giới hạn dưới đây.

Dung dịch

Các biểu thức ở cả tử số và mẫu số đều có xu hướng vô cùng. Có thể giả định rằng trong trường hợp này, giải pháp sẽ như sau:

Tuy nhiên, tất cả không đơn giản như vậy. Để giải quyết giới hạn, chúng ta cần làm như sau:

KHAI THÁC. Tìm thấy x đến lũy thừa cao nhất cho tử số (trong trường hợp của chúng tôi, nó là hai).

2. Tương tự, chúng tôi xác định x đến lũy thừa cao nhất của mẫu số (cũng bằng hai).

3. Bây giờ chúng ta chia cả tử số và mẫu số cho x bằng cấp cao cấp. Trong trường hợp của chúng tôi, trong cả hai trường hợp - trong trường hợp thứ hai, nhưng nếu chúng khác nhau, chúng ta nên lấy mức độ cao nhất.

4. Trong kết quả thu được, tất cả các phân số có xu hướng bằng không, do đó câu trả lời là 1/2.

Với sự không chắc chắn (x có xu hướng là một số cụ thể)

Tuy nhiên, cả tử số và mẫu số đều là đa thức, "X" có xu hướng đến một số cụ thể, không đến vô cùng.

Trong trường hợp này, chúng ta có điều kiện nhắm mắt đến thực tế là mẫu số bằng không.

Ví dụ: Hãy cùng tìm giới hạn của hàm số dưới đây.

Dung dịch

1. Đầu tiên, hãy thay thế số 1 vào hàm, "X". Chúng tôi nhận được sự không chắc chắn của hình thức chúng tôi đang xem xét.

2. Tiếp theo, chúng ta phân tích tử số và mẫu số thành các thừa số. Để làm điều này, bạn có thể sử dụng các công thức nhân viết tắt, nếu chúng phù hợp, hoặc.

Trong trường hợp của chúng ta, gốc của biểu thức trong tử số (2x² - 5x + 3 = 0) là các số 1 và 1,5. Do đó, nó có thể được biểu diễn dưới dạng: 2 (x-1) (x-1,5).

Mẫu số (x – 1) ban đầu là đơn giản.

3. Chúng tôi nhận được một giới hạn được sửa đổi như vậy:

4. Phân số có thể được rút gọn bằng (x – 1):

5. Nó vẫn chỉ để thay thế số 1 trong biểu thức thu được dưới giới hạn: