Định lý nhỏ Fermat

Trong ấn phẩm này, chúng tôi sẽ xem xét một trong những định lý chính trong lý thuyết về số nguyên -  Định lý nhỏ Fermatđược đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat. Chúng tôi cũng sẽ phân tích một ví dụ về việc giải quyết vấn đề để củng cố tài liệu đã trình bày.

Phát biểu định lý

1. lúc đầu

If p là một số nguyên tố a là một số nguyên không chia hết cho psau đó a^p-1 - 1 chia p.

Nó được viết chính thức như thế này: a^p-1 ≡ 1 (chống lại p).

Lưu ý: Số nguyên tố là số tự nhiên chỉ chia hết cho XNUMX và chính nó không dư.

Ví dụ:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15
• con số 15 chia 5 không có phần dư.

2. Thay thế

If p là một số nguyên tố, a bất kỳ số nguyên nào, sau đó a^p có thể so sánh với a hình thức p.

a^p ≡ một (chống lại p)

Lịch sử tìm kiếm bằng chứng

Pierre de Fermat đã đưa ra định lý vào năm 1640, nhưng không tự mình chứng minh nó. Sau đó, điều này được thực hiện bởi Gottfried Wilhelm Leibniz, một nhà triết học, nhà logic học, nhà toán học người Đức, v.v. Người ta tin rằng ông đã có bằng chứng vào năm 1683, mặc dù nó chưa bao giờ được công bố. Đáng chú ý là Leibniz đã tự mình khám phá ra định lý mà không biết rằng nó đã được hình thành trước đó.

Bằng chứng đầu tiên của định lý này được công bố vào năm 1736, và nó thuộc về nhà toán học và cơ khí người Thụy Sĩ, người Đức, Leonhard Euler. Định lý nhỏ Fermat là trường hợp đặc biệt của định lý Euler.

Ví dụ về một vấn đề

Tìm phần dư của một số 2¹² on 12.

Dung dịch

Hãy tưởng tượng một con số 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 là một số nguyên tố, do đó, theo định lý nhỏ Fermat, chúng ta nhận được:

2¹¹ ≡ 2 (chống lại 11).

Vì thế, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (chống lại 11).

Vì vậy, số 2¹² chia 12 với phần còn lại bằng 4.